1. На партийный съезд собрались 100 жуликов и 100 воров (некоторые из собравшихся входили в обе категории). Известно, что среди делегатов оказалось ровно 100 лжецов (лжецы врут всегда). Ровно 100 делегатов сказали: «я не вор». Ровно 100 делегатов заявили: «я не жулик». Сколько правдивых делегатов было среди тех, кто являлся одновременно и жуликом, и вором?
  2. В Стране Чудес прошли выборы. На каждом из 30 избирательных участков было зарегистрировано 1000 избирателей. Известно, что на каждом участке доля проголосовавших за партию «ВЕДРО» была больше нуля и равнялась доле избирателей этого участка, пришедших на выборы. По официальным данным партия «ВЕДРО» набрала ровно 64,3% голосов от числа избирателей, пришедших на выборы. Докажите, что официальные данные неверны.
  3. Каждый год, начиная с 2000, в классе выбирали старостой Вову или Диму. Через 2010 лет впервые оказалось, что Вова и Дима побывали старостами одинаковое количество раз. Занимать должность старосты три года подряд запрещено уставом школы. Докажите, что в 4004 и 4005 годах старостами избирались разные мальчики.
  4. Путин загадывает три двузначных числа, a b и c. Медведев должен назвать ему три числа – X, Y, Z, после чего Путин сообщит ему сумму aX+bY+cZ. Медведев должен отгадать задуманные числа, иначе его уволят с поста президента. Как ему спастись?

Самое смешное, что три из четырех задач действительно предлагались на олимпиадах (естественно, в других терминах). Задачи прислал мой друг Илья Бахмутский, в 70-х годах занявший 2-е место на Всесоюзной школьной олимпиаде по математике.



Комментарии (45) на запись «Логические задачи на сообразительность»

  1. Валерий | 15.12.2011 в 07:05

    А решение таких задач в 2011 году Ваш друг знает? 😉

  2. =) | 15.12.2011 в 14:14

    Ну на кого вы работаете мы уже давно поняли =))). И как вы там сказали? Конспирология не существует =), Бжезинский не годует… Или вы знаете но молчите…

  3. Тома | 15.12.2011 в 14:14

    Для задачи № 4: X=10000, Y=100, Z=1. Тогда первые две цифры суммы aX+bY+cZ =a, 3 и 4 цифры =b, 5 и 6 цифры =c.

  4. Eugene | 15.12.2011 в 14:30

    Так а что? Сложные задачи?
    1. 0, если «врут всегда», то одновременно и жуликом и вором они быть не могут.
    2. если я правильно понял «равнялась доле избирателей этого участка, пришедших на выборы», то там получается 100% пришедших.
    3. «Через 2010 лет» меня убило и считать не захотел :)
    4. 1; 100; 10000 — и все легко узнается

  5. Павел | 15.12.2011 в 14:48

    4-ая скучная. x=1, y=100, z=10000

  6. Павел | 15.12.2011 в 14:56

    интересная 3-ая) немного помучатся приходится.. остальное скучно)

  7. joink | 15.12.2011 в 14:56

    Ответ на третью загадку. Например X, Y, Z — 1, 100 и 10000.

  8. Стас | 15.12.2011 в 15:09

    1. 0
    2. Бессмысленная задача, достаточно: на каждый изб пункт явилось 1000 человек, из них — 643 проголосовали за ведро.
    3. Аналогично, при построении в каждом десятилетии воборов таким образом: ВВДДВВДДВД(года 0123456789 соотв), в 4004-4005 будет главным В
    4.10000, 100, 1
    Задачи (те, которые корректные)-уровня пятого класса школьной олимпиады сельского городка.

  9. joink | 15.12.2011 в 15:10

    Дополнение. После получения числа от Путина, все три числа тогда можно будет узнать разбив ответ на 3 группы по 2 цифры в каждом начиная справа. Соответственно первые две цифры справа будут a, третья и четвертая — b, пятая и шестая — с.

  10. Стас | 15.12.2011 в 15:23

    Ну 4-ая легко. Это числа 1,100,10000

  11. Стас | 15.12.2011 в 15:36

    Вот вам встречная задача. На монетном дворе работает 100 человек и каждый из них чеканит в день по 100 монет из золота весом по 10 грамм каждая. В один прекрасный день на монетный двор поступил очередной золотой «транш» в размере 100 кг золота. Каждому рабочему раздали по 1 кг металла и отправили чеканить монеты дальше. Через некоторое время поступила анонимка, что один из рабочих «филонит» и чеканит монеты не по 10, а по 9 грамм. Как с помощью одного взвешивания узнать, кто из рабочих «филонит»?

  12. Саша | 15.12.2011 в 15:41

    1 задача
    А есть ли среди уважаемых делегадов те которые не воры и не жулики?
    И могут ли лгать правдивые?

  13. krasnobaev | 15.12.2011 в 15:48

    Глупо.

  14. Антон | 15.12.2011 в 15:50

    четвертая легко. Надо подобрать X Y Z чтобы двухзначны е цифры не замазали, а проявили себя в итоговой сумме. что-то типа 90-значной системы счисления. X = 1 Y = 100 Z = 10000.

  15. Саша | 15.12.2011 в 15:56

    Как ни считаю получается 0 :)

  16. Вячеслав | 15.12.2011 в 15:59

    4. Один из вариантов: X=1, Y=100, Z=10000.

  17. Антон | 15.12.2011 в 16:18

    третья по шагам от 4010 года, учитывая, что в 4010 первое равенство и не более двух раз подряд, легко получается. от 4010 до 4006 года вообще все однозначно получается.

  18. Максим | 15.12.2011 в 16:23

    Ну и сколько госдеп платит за такие публикации?

  19. Вячеслав | 15.12.2011 в 16:24

    2. 30*1000*0,643*0,643=12403,47 — число избирателей, проголосовавших за «ВЕДРО».

  20. Антон | 15.12.2011 в 16:29

    первая
    Ж+ЖВ+ЖЛ+ЖВЛ=100 (а)
    В+ЖВ+ВЛ+ЖВЛ=100 (б)
    Ж+ВЛ+ЖВЛ>=100 (в)
    В+ЖЛ+ЖВЛ>=100 (г)
    Ж+В+2ЖВ+ЖЛ+ВЛ+2ЖВЛ=200 (а+б=д)
    Ж+В+ВЛ+ЖЛ+2ЖВЛ>=200 (в+г=е)
    2ЖВ<=0 (д-е)

  21. CityCat | 15.12.2011 в 16:30

    Отвечу на 4 задачку:

    1. Медведев президент и его ни кто не может уволить по конституции. И тем более он ни кому ни чего не должен.

    2. Володя, ты предлагаешь сложить наши доходы и поделить их потом на двоих?

  22. CityCat | 15.12.2011 в 16:31

    в третей (3) задаче скорее всего будет замес с высокосныма годами. Не интересно.

  23. CityCat | 15.12.2011 в 16:34

    На первую можно сделать расчет, но сам вопрос достоин сам по себе.

    У жуликов и воров есть ПАРТИЯ = ЕдРо

  24. SayoNara | 15.12.2011 в 16:42

    о! я, кажется, придумала, как спасти медведева))

  25. sergey.vaninsky | 15.12.2011 в 17:14

    4. Слишком простая для олимпиады 10000, 100, 1.

  26. 555max555 | 15.12.2011 в 17:45

    Вторая задача — жесть. Надо доказать, что сумма квадратов любых 30 чисел от 1 до 1000 не может равняться 19290000. Кроме как тупо перебором на компьютере мне ничего в голову не приходит.

  27. zanac | 15.12.2011 в 18:43

    Присоединяюсь к Валерию.

  28. 555max555 | 15.12.2011 в 19:04

    Сорри, невнимательно прочитал условие. Нормальная задача, несложная, если правильно условие прочитать :)

  29. xpbi4 | 15.12.2011 в 19:12

    Вы принципиальный политик или бизнесмен?
    Как бы не пришлось в который раз уже оправдываться, что вас не так поняли …

  30. hmn | 15.12.2011 в 19:33

    Кто даст правильный ответ, тот получит 10 лет. :)

  31. ULAD | 15.12.2011 в 21:20

    ОЧЕВИДНО ЭТИ «ЗАДАЧИ» ПРЕДНАЗНАЧЕНЫ СТУДЕНТАМ ЕГУ,КОТОРЫМ ВЫ ОБЪЯСНЯЛИ ПОНЯТИЕ «НАД СХВАТКОЙ»?? ИЛИ ВЫ НЕ ТОТ КОТОРЫЙ ДИРЕКТОР И ВЛАДЕЛЕЦ, А ЧАСТНОЕ ЛИЦО ?? НАДЕЮСЬ ЭТО НЕ PROVOCATION??

  32. egor_zhuchkov | 15.12.2011 в 22:03

    1. 0
    2. 100%

    3 і 4 не дадумаў пакуль
    :-)

  33. Юрий Зиссер | 15.12.2011 в 22:31

    По многочисленным просьбам публикую решение 1-й и 4-й задач, присланное тем же Илюшей Бахмутским. Сам я сходу решил только 4-ю, на больше времени не было, но если бы было, то вряд ли бы быстро решил. Я не поднимался никогда выше 1-го места в районе.

    Решение 1-й задачи. Ответ — 0 (т.е. если и жулик и вор, то лжец).

    Каждый на съезде может быть или не быть жуликом, вором, лжецом. Количество тех, кто является только жуликом, обозначим через Ж, количество воров и лжецов, не являющихся жуликами через ВЛ и т.д. условия всего 100 жуликов : Ж+ЖВ+ЖЛ+ЖВЛ=100 (1)
    всего 100 воров : В+ЖВ+ВЛ+ЖВЛ=100 (2)
    100 сказали «я не вор» : Ж+ВЛ+ЖВЛ>=100 (3)
    100 сказали «я не жулик» : В+ЖЛ+ЖВЛ>=100 (4)
    Складываем (1) и (2) : Ж+В+2ЖВ+ЖЛ+ВЛ+2ЖВЛ=200 (5)
    Складываем (3) и (4) : Ж+В+ВЛ+ЖЛ+2ЖВЛ>=200 (6)
    Вычитем (6) из (5) : 2ЖВ<=0

    Решение задачи 4. Медведеву надо назвать назвать 10000,100 и 1 (числа-то двузначные). Например, если Путин задумал 77, 9 и 23, то выйдет 770923.

  34. gorbelta | 15.12.2011 в 23:09

    Решение 4-ой — Х=1, Y=100 и Z=10000?)))?

  35. gorbelta | 15.12.2011 в 23:14

    Упс, пока думала, Вы уже написали))) А решение второй такой вариант решения подойдет? Всего 30000 возможных избирателей, т.к. число проголосовавших=числу пришедших, значит пришло 30000*0,643=19290, и соответственно из них за Ведро проголосовали 0,643*19290=12403,47. 0, 47 человека быть не может, соответственно данные не верны? Или слишком просто?)

  36. Юрий Зиссер | 16.12.2011 в 00:37

    Решение задачи 3. Решил тот же Илья.

    Важно в условии : впервые

    Анализ с конца. В 4009 (через 2010 лет после 2000-го) старостой был В. Тогда в 4008 старостой был он же — иначе в 4008 число «старостатств» В и Д уже уравнялось. В 4007 по уставу старостой был Д, в 4006 — В (иначе их старостатства уравнялись бы в 4005). А случай ВВ в 4004 и 4005 невозможен по уставу, а случай ДД — потому что тогда «старостатства» В и Д уравнялись бы уже в 4003.

  37. Юрий Зиссер | 16.12.2011 в 00:40

    Наконец, пришло решение задачи 2. Спасибо Илье!

    Доказательство от противного. На участке S пришло А(S) избирателей. Тогда на участке доля избирателей, проголосовавших за ВЕДРО, равна доле принявших участие в выборах : А(S)/1000. Т.е. на участке S за ВЕДРО проголосовали А(S)^2/1000 . Это число проголосовавших, и оно целое : возможно только если А(S) делится на 100.
    А(S) = 100 * К(S). K(S) – целое в интервале [1..10]. За ВЕДРО на участке S проголосовало 10*К(S)^2 человек.
    За ВЕДРО проголосовало
    643/1000 * 100 * (сумма тридцати чисел К(S) ) = 10 * (сумма тридцати чисел К(S)^2).
    Обозначим «Сумма 30-ти К(S)» = C1, a «сумма тридцати чисел К(S)^2″ = C2, то
    643 * C1 = 100 * C2 (1)
    Значит С1 делится на 100. И оно явно не более 300 (=10*30). Т.е. 100, 200 или 300.
    По неравенству «среднего квадратичного» для 30 чисел :
    C2 >= C1/30 (2)
    http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D0%B5%D0%B5_%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5
    Из (1) и (2) следует : С1 <= 30*643/100 < 200.
    T.e. возможен только вариант С1 = 100 .
    Тогда сумма 30 чисел из интервала [1..10] равна 100, а сумма квадратов этих 30 чисел равна 643.
    Но С1 и С2 не могут иметь разную чётность
    (если число четное, то и его квадрат четный, если число нечетное, то и его квадрат – нечетное).

  38. Юрий Зиссер | 16.12.2011 в 01:25

    Только сейчас одобрил все комментарии сразу за целый день, чтобы не выдавать ответ раньше времени :).

  39. Антон | 16.12.2011 в 10:06

    вторая задача действительно олимпиадная. остальные максимум задачи со звездочкой из учебника.

  40. Антон | 16.12.2011 в 10:12

    хорошие задачки — вот только будет решать их Россия по второму и третьему кругу. А от перестановки слагаемых
    Вова + Дима сумма не меняется.

  41. Алексей | 16.12.2011 в 10:19

    Объясните, пжста, решение 4-ой задачи.

  42. csfsergo | 16.12.2011 в 13:24

    «Объясните, пжста, решение 4-ой задачи.»

    10000*XX+100*YY+1*ZZ = XXYYZZ, так понятней? 😉

  43. Алик | 16.12.2011 в 18:58

    Зиссер — представитель пятой колонны, за пять копеек Родину продаст.

  44. Cooler | 17.12.2011 в 21:43

    Прикольно!
    2-я задачка меня победила :( Дошел до «643 * C1 = 100 * C2″ и сдался — полез смотреть решение…
    1-я и 3-я — минут на 15, 4-я — тривиальная.
    Кстати, в первой задаче можно сделать проще — нет нужды записывать все 4 условия, т.к. они симметричны (перемена местами жуликов и воров не влияет на числа), в результате искомое число получается одним действием.

  45. ULAD | 17.12.2011 в 23:51

    Приношу извинения.В оправдание могу только сказать; что я новичок в инете и только сегодня понял; что кроме блога у вас есть еще и сайт и что (судя по комментариям)я попал в вагон для некурящих… А для иных категорий у вас нет задач?

Оставить комментарий